Taller de Monografía IB en Matemáticas

Si al quitar una disciplina la pregunta se responde prácticamente igual, la integración es débil.

Pide evidencia de integración en los cuatro lugares donde tiene que aparecer:

1. Variables y supuestos — los aporta una disciplina.
2. Métodos — herramientas y validación de la otra.
3. Interpretación — el resultado se lee en los dos lenguajes.
4. Evaluación final — la discusión necesita a las dos para sostenerse.

Los descriptores (pp. 123 a 125) describen cada criterio con dos o tres aspectos, y en todos el salto de banda está en el verbo. Abajo, qué cambia en cada uno y cómo se ve en una misma monografía: un estudiante que pregunta «¿en cuántos minutos un café servido a 85 °C llega a 55 °C en una sala a 20 °C?».

Criterio A · Marco para la monografía · 6 puntos

Tres aspectos: pregunta de investigación, métodos y estructura. La banda baja formula una pregunta que «es poco clara o no está delimitada» y usa métodos «inadecuados»; la alta tiene una pregunta que es «clara y está bien delimitada» y métodos que «se explican y aplican de manera eficaz».

En el café. Banda baja: «¿cómo se enfría el café?». Banda alta: la pregunta con temperatura inicial, temperatura final y temperatura de la sala; y explicar que midió cada 30 segundos con termómetro y ajustó la constante por mínimos cuadrados.

Criterio B · Conocimiento y comprensión · 6 puntos

Tres aspectos: materiales, terminología y conceptos. En la banda baja «se identifican conceptos», pero no son pertinentes o se explican superficialmente; en la alta «se explican conceptos pertinentes y se utilizan de manera eficaz», con terminología «precisa y coherente».

En el café. Banda baja: usar la fórmula del enfriamiento y llamar «la constante» a k. Banda alta: explicar que el modelo sale de suponer que la velocidad de enfriamiento es proporcional a la diferencia de temperatura, escribir dT/dt = −k(T − T_a), resolverla, y decir qué significa k y en qué unidades está.

Criterio C · Análisis y argumentación · 6 puntos

Dos aspectos. La banda baja es «descriptiva, y no analítica», con una «argumentación parcial»; la alta tiene un análisis «eficaz» y una argumentación «clara y constante» que «establece conexiones entre la pregunta de investigación, los hallazgos y las conclusiones».

En el café. Banda baja: presentar la tabla de temperaturas y describirla. Banda alta: ajustar el modelo, mostrar qué tan cerca queda de los datos medidos, despejar el tiempo hasta 55 °C y volver a la pregunta con ese número.

Criterio D · Discusión y evaluación · 8 puntos

Dos aspectos. En discusión, de «se describe la importancia de los hallazgos, pero no se mencionan las pruebas que los respaldan» a una discusión equilibrada «que se apoya plenamente en pruebas adecuadas». En evaluación, la escalera completa: no se indican los puntos fuertes y las limitaciones, se indican, se describen, se explican.

En el café. Indicar: «el valor que medí es aproximado». Describir: «está entre 0,04 y 0,06 por minuto». Explicar: «con ese rango el café tarda entre 10,3 y 15,5 minutos, así que mi respuesta —no se puede tomar antes de 10 minutos— se sostiene en todo el rango».

Criterio E · Reflexión · 4 puntos

Dos aspectos, y solo se aplica al comentario de reflexión. En evaluación, de una reflexión «descriptiva» a una «sistemáticamente evaluativa» con ejemplos específicos. En crecimiento, de «una descripción del proceso» sin pruebas de transferencia, a mostrar «sistemáticamente pruebas del crecimiento del alumno/a y de transferencia de aprendizaje».

En el café. Banda baja: «aprendí mucho sobre modelos exponenciales». Banda alta: «empecé midiendo cada dos minutos y el ajuste quedaba malo al principio de la curva; decidí medir cada 30 segundos en los primeros cinco minutos, y eso cambió mi estimación. Ahora, antes de tomar datos, pienso dónde cambia rápido lo que estoy midiendo».

Una precisión de la guía sobre cómo se aplica esto: «no es necesario que se cumplan todos los indicadores de una banda de puntuación para obtener una puntuación de dicha banda» y «para alcanzar la puntuación más alta no se requiere un desempeño perfecto» (p. 123).

De dónde sale. La guía no usa la palabra «sensibilidad». Lo que pide el Criterio D es evaluar la eficacia del trabajo; la orientación general lo describe como valorar el material de investigación, «sopesar sus puntos fuertes y sus limitaciones» (p. 44), y en Matemáticas, analizar los puntos fuertes y describir las limitaciones (p. 77). El análisis de sensibilidad es una de las formas concretas de hacer eso en un trabajo con modelos, y es la lectura de este taller.

En una frase. Es medir cuánto cambia el resultado cuando se cambia algo que el estudiante eligió: un parámetro del modelo, un supuesto o un dato.

Cómo se hace.

1. Se elige un parámetro y se dejan los demás fijos.
2. Se evalúa en tres valores: el mínimo razonable, el usado y el máximo razonable.
3. Se registra cuánto cambia la predicción y, sobre todo, si la respuesta a la pregunta de investigación sigue siendo la misma.

Formalmente, es la derivada del resultado respecto al parámetro: si el resultado es R y el parámetro es p, la sensibilidad es ∂R/∂p. Para comparar parámetros con unidades distintas se usa la versión relativa, la elasticidad, (p/R)·∂R/∂p: «si p sube un 1 %, R cambia un tanto por ciento».

Un ejemplo sencillo: el café que se enfría. La ley de enfriamiento de Newton dice que la temperatura sigue T(t) = T_a + (T₀ − T_a)·e^−kt. Un estudiante mide su café: sale a 85 °C, la sala está a 20 °C, y pregunta cuánto tarda en llegar a 55 °C, que es la temperatura a la que se puede tomar. Con los datos que midió estima k = 0,05 por minuto y le da 12,4 minutos.

Pero k no es un dato exacto: lo estimó de unas pocas mediciones y podría estar entre 0,04 y 0,06. Ahí entra la sensibilidad. Con k = 0,04 el café tarda 15,5 minutos; con k = 0,06, 10,3 minutos. Es decir: mover k un 20 % mueve la respuesta unos tres minutos.

Y esa es la parte que se escribe en el Criterio D: si la pregunta era «¿se puede tomar antes de diez minutos?», la respuesta es no en todo el rango, así que la conclusión aguanta. Si la pregunta hubiera sido «¿tarda más de un cuarto de hora?», la respuesta cambia según el valor de k, y entonces la conclusión no se sostiene: depende de una estimación del propio estudiante.

El mismo razonamiento, con la caída de la natalidad. El modelo logístico decreciente tiene un parámetro A: el suelo al que tiende la curva ajustada, que no se observó en ningún dato, sino que salió del ajuste. Mover A dentro de los valores plausibles mueve toda la proyección. Si la respuesta a la pregunta se mantiene en ese rango, la conclusión es robusta; si cambia, lo que el estudiante encontró es consecuencia de haber elegido ese A, y eso hay que escribirlo.

No es lo mismo que el error. El error es la diferencia entre lo que predice el modelo y lo que se observó: mira hacia los datos. La sensibilidad mira hacia las decisiones del estudiante.

Su límite, que conviene nombrar en la discusión. Al mover un parámetro a la vez no se ven las interacciones entre ellos: en un modelo logístico, la tasa de crecimiento y el techo interactúan. Una discusión fuerte señala esa limitación, o mueve dos parámetros a la vez.

De dónde sale. La guía no usa esta expresión. Pide que la comprensión de las dos asignaturas sea evidente y que la conclusión muestre cómo se integraron, lo que «permitirá evaluar el éxito del enfoque integrador» (pp. 21-22); y recuerda que los criterios son los mismos para todas las monografías, «pero su aplicación tiene en cuenta el enfoque adoptado» (p. 122). Lo de abajo es cómo se revisa eso en un trabajo de Matemáticas: lectura de este taller.

En una frase. La validez matemática pregunta si el resultado está bien obtenido. La validez en la segunda asignatura pregunta si ese resultado tiene sentido allá, y qué implica.

Cuatro preguntas para el borrador.

1. ¿El valor es plausible? Que el número caiga en el rango que esa disciplina considera razonable, y no solo que el ajuste sea bueno.
2. ¿Los supuestos se sostienen allá? Un supuesto cómodo para el modelo puede ser falso en la otra asignatura: por ejemplo, suponer que algo se mantiene constante cuando esa disciplina sabe que cambia.
3. ¿La interpretación usa el lenguaje de esa asignatura? No basta con traducir el número: hay que decir qué significa en sus propios términos.
4. ¿Qué implica? Qué consecuencia tiene el resultado para esa disciplina, y qué quedaría por investigar allá.

Tres ejemplos.

• Con Geografía (empleos alcanzables en una hora de transporte): el modelo puede ajustar bien, pero la hora del día cambia el resultado, y el área alcanzada no mide el acceso porque los empleos no se reparten de forma uniforme. Eso lo señala Geografía, no la matemática.
• Con Física (enfriamiento y material del vaso): una constante de enfriamiento ajustada puede ser inverosímil para ese material, o estar recogiendo una corriente de aire que no se controló.
• Con Economía (retorno de una inversión): la tasa puede estar bien calculada y aun así apoyarse en una trayectoria de precios que esa disciplina no considera sostenible.

La señal de alarma. Una discusión donde todo lo que se evalúa es matemático —error, ajuste, sensibilidad— y la segunda asignatura solo aparece en la introducción.

La guía recomienda preguntas de orden superior: «¿Qué importancia...?», «¿Qué éxito...?», «¿En qué medida...?» o «¿Qué pasaría si...?», porque es más probable que lleven al análisis y a la evaluación crítica. (Guía de la Monografía, español, p. 41) Las plantillas de abajo son del taller; varias usan variantes de esas fórmulas.

También conviene evitar: preguntas dobles (dos preguntas en una), preguntas que se responden describiendo, y preguntas cuya respuesta ya es evidente en el enunciado. (Guía de la Monografía, español, p. 41)

No es un requisito formal. Es una recomendación.

«Si bien no es necesario que el alumnado tenga conocimientos previos específicos como requisito formal para abordar la Monografía, se recomienda encarecidamente que investigue en relación con un área disciplinaria que esté estudiando en el PD, para garantizar que tenga suficientes conocimientos de la asignatura o asignaturas como para completar la tarea.»p. 15

La guía añade que, si los conocimientos se adquirieron fuera del Programa del Diploma, el estudiante debe asegurarse de conocer la asignatura desde la perspectiva del Programa.

La guía no distingue entre los dos cursos: no los nombra una sola vez en sus 139 páginas. Lo que sí dice es que no hace falta salirse del programa de estudios.

«No es imprescindible utilizar nociones matemáticas que no estén dentro del programa de estudios. Tal vez sea posible responder la pregunta de investigación utilizando nociones matemáticas que se cubren en el programa de estudios.»pp. 76-77

No. La guía pide una, y como recomendación.

«Es muy recomendable que el alumno/a esté estudiando al menos una de las dos asignaturas del PD que utilice para su monografía. De esta forma, aportará al proceso de investigación una comprensión incipiente de los conocimientos, conceptos, teorías, perspectivas o métodos de al menos una asignatura del PD.»p. 22

Lo dice dos veces: en la página 15 lo formula igual, «se recomienda encarecidamente que curse un programa de estudios en al menos una de las asignaturas elegidas».

La guía habla siempre de un supervisor, en singular, también para el itinerario interdisciplinario. No menciona en ningún momento un segundo supervisor.

«El colegio debe contar con un procedimiento para distribuir al alumnado entre el personal disponible en función de las características de sus monografías. Lo ideal es que el supervisor/a tenga algo de experiencia en el área o áreas disciplinarias relacionadas con el tema de la monografía del alumno/a.»p. 113

«Lo ideal», no un requisito. Y dice «el área o áreas», que es el caso interdisciplinario.

No. La guía es explícita en que ese no es su papel.

«Es importante tener en cuenta que la función primordial del supervisor/a es la de guiar y aconsejar, y que la responsabilidad de la investigación y la redacción recae en el alumno/a, quien se beneficiará al trabajar y aprender de manera independiente. Por tanto, es mejor que la orientación del personal de supervisión se centre en plantear preguntas, estimular, sugerir y recomendar, y no en ofrecer conocimientos especializados sobre la asignatura o asignaturas.»p. 113

No. Hay dos asignaturas excluidas del itinerario interdisciplinario.

«Hay dos asignaturas del PD que se consideran transdisciplinarias: Sistemas Ambientales y Sociedades, y Literatura y Representación Teatral. No está permitido elegir estas asignaturas en el itinerario interdisciplinario; solo podrán elegirse en el itinerario centrado en una asignatura.»p. 21

Y una restricción de idioma: la monografía interdisciplinaria solo se puede presentar en español, francés o inglés.

No. Una monografía interdisciplinaria puede apoyarse mucho más en una asignatura que en la otra —por ejemplo, sobre todo matemática y solo un poco de geografía—, y eso está bien. Lo que sí se exige es que la segunda asignatura haga falta de verdad para responder la pregunta.

«No es necesario que el alumnado llegue a una combinación totalmente equilibrada de ambas asignaturas del PD. El equilibrio relativo dependerá de la naturaleza del tema y del énfasis de la pregunta de investigación. Sin embargo, una monografía interdisciplinaria deberá demostrar de forma clara que la integración de elementos de las dos asignaturas ha permitido específicamente dar una respuesta eficaz a la pregunta de investigación.»p. 22

«Este debe incorporar una supervisión de una duración recomendada de entre 3 y 5 horas por parte del personal de supervisión asignado, en la que se incluyan tres sesiones de reflexión formal con el alumno/a, así como reuniones de consulta periódicas.»p. 113

«Es obligatorio incluir en el formulario de reflexión y progreso un registro de la asistencia a las tres sesiones de reflexión formal y el texto del comentario de reflexión del alumno/a.»p. 113

Y sobre quién firma: «Solo un supervisor/a del colegio puede completar el proceso de reflexión para la monografía con el alumno/a y firmar el formulario de reflexión y progreso» (p. 113).

Sí, con acuerdo del colegio, pero sigue habiendo un supervisor del colegio.

«Cuando el colegio lo considere adecuado, el alumnado podrá abordar su investigación en un instituto o una universidad con el asesoramiento de un mentor/a externo... En estos casos, aun así debe asignarse al alumno/a un supervisor/a del colegio, y el alumno/a debe abordar sus sesiones de reflexión con esta persona.»p. 113

«La monografía implica aproximadamente 40 horas de trabajo por parte de cada estudiante.»p. 15

El IB no publica una cifra fija, a propósito. La guía lo explica:

«El personal examinador supervisor se servirá de estos descriptores para determinar los límites de calificación. Aunque los límites de calificación pueden variar, los descriptores de calificaciones finales permanecen iguales.»p. 126

Es decir: los límites cambian de una convocatoria a otra y lo que se mantiene son los descriptores. Por eso las cifras que circulan por internet para 2027 no sirven: no vienen del IB y repiten los límites del marco anterior, que era sobre 34 puntos.

La guía dice además qué se espera del supervisor en esto:

«La Monografía se evalúa externamente y, por tanto, no se espera que el personal de supervisión corrija las monografías de sus estudiantes ni les asigne una puntuación que se pueda convertir después en una calificación final. Las calificaciones previstas deben basarse en los descriptores de calificaciones finales cualitativos.»p. 126

Y este es el descriptor de la calificación A, que es lo que hay que buscar en el trabajo (pp. 126-127):

• Demuestra habilidades de investigación eficaces, con una pregunta de investigación adecuada y bien delimitada que puede explorarse en el marco del tema elegido.
• Hay un tratamiento eficaz de áreas de investigación, métodos y fuentes pertinentes.
• Hay un excelente grado de conocimiento y comprensión del tema en el contexto general de la disciplina.
• Hay una aplicación eficaz de las fuentes y un uso correcto de la terminología y los conceptos específicos de la asignatura.
• Las conclusiones son coherentes y pertinentes, y se analizan con destreza.
• Los argumentos muestran un razonamiento constante y están respaldados eficazmente con pruebas.
• La investigación se evalúa de manera crítica.
• El uso coherente, sistemático y eficaz de las convenciones estructurales facilita la lectura en un grado excelente.
• La reflexión es sistemáticamente evaluativa e incluye ejemplos específicos.
• La reflexión muestra sistemáticamente pruebas del crecimiento del estudiante y de transferencia de aprendizaje.

La diferencia con la calificación B está en los adverbios: donde la A dice «eficaz», «excelente» y «sistemáticamente», la B dice «razonablemente eficaz», «buen grado» y «a menudo».